数学函数

小米里的大麦2025-06-112025-08-27

数学相关函数

算法数据范围初定：单数据 10 的 9 次方以内无脑用 int，单数据 10 的 18 次方以内无脑 long long，更高的数据量需要考虑 long double（10 的 308 次方左右），但是注意：long double 虽然能表示很大的数，但精度不够稳定，误差较大！对准确性要求极高的场景下，就不太靠谱了。这时就需要考虑高精度算法和计算库了。还有在多数据涉及加法和乘法操作时，注意边界溢出！

1. 基本数学函数（`<cmath>`）

功能	函数原型	使用示例	注意事项
平方根	`double sqrt(double x)`	`sqrt(16.0) = 4.0`	参数需非负
幂运算 (b ^e)	`double pow(double b, double e)`	`pow(2.0, 3.0) = 8.0`	效率低于位运算
浮点数绝对值	`double abs(double x)`	`abs(-3.14) = 3.14`	整数用 `<cstdlib>` 的 `abs()`
浮点数绝对值	`double fabs(double x)`	`fabs(-2.5) = 2.5`	同 `abs()`
向上取整	`double ceil(double x)`	`ceil(2.3) = 3.0`
向下取整	`double floor(double x)`	`floor(2.7) = 2.0`
四舍五入	`double round(double x)`	`round(2.5) = 3.0`	C++11
浮点数取模	`double fmod(double a, double b)`	`fmod(5.5, 2.0) = 1.5`	余数 = a - b*trunc(a/b)
欧几里得距离 (√(x²+y²))	`double hypot(double x, double y)`	`hypot(3,4) = 5.0`	避免溢出
自然对数 (ln x)	`double log(double x)`	`log(exp(1)) ≈ 1.0`	x > 0
常用对数 (log₁₀ x)	`double log10(double x)`	`log10(100) = 2.0`	x > 0

2. 数值算法（`<algorithm>` & `<numeric>`）

功能	函数原型	使用示例	注意事项
最大值	`T max(T a, T b)`	`max(3, 5) = 5`	支持多参数 `max({a,b,c})`
最小值	`T min(T a, T b)`	`min(2.0, 1.5) = 1.5`	支持多参数
绝对值	`T abs(T x)`	`abs(-10) = 10`	模板版本
最大公约数	`int gcd(int a, int b)` (C++17)	`gcd(12, 18) = 6`	C++17 需 `<numeric>`
最小公倍数	`int lcm(int a, int b)` (C++17)	`lcm(4, 6) = 12`	C++17 需 `<numeric>`
区间求和	`T accumulate(It first, It last, T init)`	`accumulate(v.begin(), v.end(), 0)`	需 `<numeric>`
填充递增序列	`void iota(It first, It last, T value)`	`iota(v.begin(), v.end(), 1)`	需 `<numeric>`，生成 1,2,3,…

3. 常见相关常量（也在 `<climits>` 中）：

功能	值
int 最大值（通常是 2³¹−1）	`INT_MAX`
int 最小值（通常是 -2³¹）	`INT_MIN`
long long 最大值	`LLONG_MAX`
long long 最小值	`LLONG_MIN`
大概是 `INT_MAX` 的一半，本质是一个 16 进制数，常用于防溢出	`0x3f3f3f3f`（f 可大写可小写）
unsigned int 最大值	`UINT_MAX`
char 最大值	`CHAR_MAX`
long 最大值	`LONG_MAX`
short 最大值	`SHRT_MAX`

注意事项：

不要混淆 <climits>（C++）和 <limits.h>（C）。
如果你用的是 C++，推荐使用 <climits>。
INT_MAX 是编译器根据系统架构定义的，保证可移植性。

4. 位运算函数（GCC 内置）

功能	函数原型	使用示例	返回值
二进制中 1 的个数	`int __builtin_popcount(unsigned int x)`	`__builtin_popcount(7) = 3`	32 位整数
前导 0 的个数	`int __builtin_clz(unsigned int x)`	`__builtin_clz(1) = 31`	32 位整数（MSB 开始）
后缀 0 的个数	`int __builtin_ctz(unsigned int x)`	`__builtin_ctz(8) = 3`	32 位整数（LSB 开始）
最低位 1 的位置	`int __builtin_ffs(int x)`	`__builtin_ffs(6) = 2`	位置从 1 开始计数

5. 随机数（`<cstdlib>`）

功能	函数原型	使用示例	注意事项
生成伪随机数	`int rand()`	`rand() % 100`	范围 [0, RAND_MAX]
设置随机种子	`void srand(unsigned seed)`	`srand(time(0))`	需 `<ctime>`

使用技巧：

定义 π 常量：

1	const double PI = acos(-1.0); // 最精确的定义方式

整数绝对值：

1 2	#include <cstdlib> int a = abs(-10); // 整数用cstdlib的abs

C++17 GCD/LCM：

1 2	#include <numeric> cout << gcd(12, 18) << " " << lcm(4, 6); // 输出: 6 12

位运算优化：

// 判断2的幂次
bool isPowerOfTwo(int n)
{
    return n > 0 && (n & (n - 1)) == 0;
}

随机数生成：

#include <cstdlib>
#include <ctime>
srand(time(0));  // 初始化随机种子
int randNum = rand() % 100;  // 0-99的随机数

注意：竞赛中常用 GCC 编译器，可使用 __builtin 系列函数优化位运算操作。C++17 及以上建议使用标准库的 gcd() 和 lcm() 函数。

6. 三角函数（`<cmath>`）

功能	函数原型	使用示例	注意事项
正弦	`double sin(double rad)`	`sin(M_PI/2) = 1.0`	参数为弧度（非角度）
余弦	`double cos(double rad)`	`cos(M_PI) = -1.0`	需定义 `#define M_PI 3.1415926535`
正切	`double tan(double rad)`	`tan(M_PI/4) ≈ 1.0`
反正弦	`double asin(double x)`	`asin(1.0) = M_PI/2`	返回值 ∈ [-π/2, π/2]
反余弦	`double acos(double x)`	`acos(-1.0) = M_PI`	返回值 ∈ [0, π]
反正切	`double atan(double x)`	`atan(1.0) = M_PI/4`	返回值 ∈ [-π/2, π/2]